使用四探針法計(jì)算薄層電阻的原理

薄層電阻(也稱為表面電阻或表面電阻率)是一種常見的電學(xué)性質(zhì)，用于表征導(dǎo)體和半導(dǎo)體材料薄膜。它是通過薄正方形材料的橫向電阻的量度，即正方形對(duì)邊之間的電阻。與其他電阻測(cè)量相比，薄層電阻的主要優(yōu)勢(shì)在于它與正方形的大小無關(guān)，因此可以輕松比較不同的樣品。

這一特性可以很容易地用四點(diǎn)探針并且在高效鈣鈦礦光伏器件的制造中是至關(guān)重要的，其中需要低薄層電阻材料來提取電荷。

薄層電阻的應(yīng)用

薄層電阻是任何薄膜材料的一個(gè)重要特性，電荷將在薄膜中傳播(而不是通過)。例如，薄膜器件(如鈣鈦礦太陽能電池或有機(jī)發(fā)光二極管)需要導(dǎo)電電極，其厚度通常在納米至微米范圍內(nèi)。下圖顯示了電荷如何在LED設(shè)備內(nèi)移動(dòng)。電極必須橫向傳輸電荷，并需要低薄層電阻以減少該過程中的損耗。當(dāng)試圖擴(kuò)大這些設(shè)備的尺寸時(shí)，這變得更加重要，因?yàn)殡姾稍诒惶崛≈氨仨氀刂姌O行進(jìn)更遠(yuǎn)。

此外，如果已知薄層電阻和材料厚度，則可以計(jì)算電阻率和電導(dǎo)率。這使得材料的電氣特性，純粹是通過采取薄層電阻測(cè)量。

測(cè)量薄層電阻的四探針法

一般理論

測(cè)量薄層電阻的主要技術(shù)是四探針法(也稱為開爾文技術(shù))，使用四點(diǎn)探針。四點(diǎn)探針由四個(gè)等距、共線的電探針組成，如下圖所示。

它通過施加DC電流(I)并測(cè)量?jī)?nèi)部?jī)蓚€(gè)探針之間的電壓降。

薄層電阻方程

然后，可以使用以下公式計(jì)算薄層電阻:

Rs是薄層電阻，△V是內(nèi)部探針之間測(cè)得的電壓變化，I是外部探針之間施加的電流。薄層電阻通常用單位Ω/m2(歐姆每平方)來測(cè)量，以區(qū)別于體電阻。

應(yīng)當(dāng)注意，該等式僅在以下情況下有效:

被測(cè)材料的厚度不超過探針間距的40%

樣本的橫向尺寸足夠大

如果不是這樣，那么就需要幾何校正系數(shù)來說明樣品的大小、形狀和厚度。該因子的值取決于所使用的幾何圖形。

如果被測(cè)材料的厚度已知，那么薄層電阻可用于計(jì)算其電阻率:

這里，ρ是電阻率，t是材料的厚度。

消除接觸電阻

使用四點(diǎn)探針進(jìn)行電氣表征的主要優(yōu)點(diǎn)之一是測(cè)量中消除了接觸電阻和導(dǎo)線電阻。下圖顯示了四點(diǎn)探針測(cè)量的電路電阻..

施加的電流I通過外部探針進(jìn)入和離開樣品，并流過樣品。電壓表通常具有高電阻，以防止它們影響被測(cè)電路，因此沒有電流流過內(nèi)部的兩個(gè)探頭。僅測(cè)量?jī)?nèi)部探針之間的電壓，這意味著線電阻(RW2和RW3)和接觸電阻(RC2和RC3)對(duì)測(cè)量沒有貢獻(xiàn)。任何測(cè)得的電壓下降(△V)將因此來自樣本電阻(RS2).這簡(jiǎn)化了薄層電阻方程，因此只有△V和施加的電流來求的值RS2(即薄層電阻)。

幾何校正系數(shù)

雖然上述薄層電阻公式與樣品的幾何形狀無關(guān)，但這僅適用于樣品明顯大于(通常尺寸為探針間距的40倍)且樣品薄于探針間距的40%的情況。如果不是這種情況，探針之間可能的電流路徑會(huì)受到靠近樣品邊緣的限制，從而導(dǎo)致對(duì)薄層電阻的高估。為了說明這種差異，需要一個(gè)基于樣品幾何形狀的校正系數(shù)。

本指南中的所有校正系數(shù)均來自Haldor Tops?，四點(diǎn)電阻率測(cè)量中的幾何因素, 1966.

圓形樣品

對(duì)于直徑的圓形樣品d，在樣品中心測(cè)量，可使用以下公式計(jì)算校正系數(shù):

在這里s是探針之間的距離。為d >> s該方程趨于一致，使得能夠使用未校正的方程。

矩形樣本

對(duì)于矩形樣品，幾何校正系數(shù)的確定稍微復(fù)雜一些，因?yàn)闆]有方程。取而代之的是經(jīng)驗(yàn)決定的校正表因素已使用。此表中的值僅適用于探針接觸樣品中心，并平行于樣品最長(zhǎng)邊緣(l)，如下圖。

例如，假設(shè)上圖所示的矩形樣本有一條長(zhǎng)邊l= 20毫米，短邊w= 10毫米，所用探針的間距為s= 2 mm。在這種情況下，l / w= 2且w / s= 5，因此在表中搜索滿足這兩個(gè)值的校正系數(shù)，沿著列查找l / w= 2，行為w / s= 5，即C= 0.7887.將測(cè)得的薄層電阻乘以該值，得到樣品的正確值。

并不是每個(gè)樣本都能歸入這些類別。如果是這種情況，建議使用三次樣條插值來估計(jì)樣本的適當(dāng)校正系數(shù)。

值得注意的是，上述圓形和矩形樣品的校正系數(shù)僅適用于在中進(jìn)行的測(cè)量樣本中心。如果測(cè)量值不在中心，則需要不同的校正系數(shù)。

其他形狀和探針位置

對(duì)于不同的樣品形狀和不在樣品中心進(jìn)行的測(cè)量，需要替代的校正系數(shù)。其中大部分可以在Haldor Tops?找到，四點(diǎn)電阻率測(cè)量中的幾何因素，1966年，或者F. M .史密茨，用四探針測(cè)量薄層電阻率貝爾系統(tǒng)。技術(shù)?！秶?guó)際法院判例匯編》，1958年5月，第711頁。

如果樣品的形狀不規(guī)則，考慮它是更接近矩形還是圓形，然后估計(jì)樣品中適合的形狀大小。

厚樣品

如果被測(cè)樣品的厚度大于探針間距的40%,則需要額外的校正系數(shù)。所使用的校正因子取決于樣品厚度的比率(t)與探針間距(s)以及下表中列出的一些可能值:

與矩形樣本一樣，如果t / s不等于表中給定的值之一，建議使用三次樣條插值來估計(jì)樣本的適當(dāng)校正因子。

四點(diǎn)探針方程推導(dǎo)

為了確定如何使用四點(diǎn)探針測(cè)量薄膜的薄層電阻，必須首先評(píng)估一個(gè)簡(jiǎn)化的方案。想象一個(gè)任意尖銳的探針接觸并注入電流(通過施加電壓)到一個(gè)半無限體積(除了朝向探針的方向，所有方向都是無限的)的導(dǎo)電材料中。

電流通過等電位的同心半球殼從接觸點(diǎn)向外傳播，每個(gè)等電位的同心半球殼具有電流密度(J)的:

在那里r是距探頭的徑向距離(2πr2是半球的表面積)。通過應(yīng)用歐姆定律(E = ρJ)每個(gè)外殼上的電場(chǎng)等于外殼厚度上的電壓降，或-δV/δr(這一項(xiàng)是負(fù)的，因?yàn)殡妷弘Sr)，并且隨著殼的厚度趨向于零，獲得下面的方程:

這可以集成在r和r '獲得:

通過應(yīng)用邊界條件V接近零r接近無窮大時(shí)，等式簡(jiǎn)化為:

現(xiàn)在想象有四個(gè)任意尖銳的探針(標(biāo)為1到4)與半無限導(dǎo)電材料接觸，它們以相等的間距排成一行(s).它們被設(shè)置成使電流通過探針1注入并被探針4收集。如果假設(shè)每個(gè)探針的邊界條件相同，則任意點(diǎn)的電壓等于每個(gè)探針單獨(dú)產(chǎn)生的電壓之和，即:

在哪里r1和r4分別是距離探針1和探針4的徑向距離。然后測(cè)量探針2和3之間的電壓。使用上述等式，探針2和3的電壓為:

因此，電壓的變化(δV探頭2和3之間的)是:

因此，探針之間的電阻率為:

這個(gè)表達(dá)式只適用于半無限體積的情況，而不適用于薄膜的情況。然而，使用類似的分析可以導(dǎo)出新的表達(dá)式。如前所述，想象任意尖銳的探針接觸并向具有厚度的材料薄膜中注入電流t.

在這種情況下，電流在等電位的短圓柱殼中遠(yuǎn)離探頭(通過材料),每個(gè)殼的電流密度為:

通過應(yīng)用與前面相同的電場(chǎng)條件(歐姆定律和殼厚度趨于零)，每個(gè)殼上的電場(chǎng)為:

電阻率已經(jīng)被定義為薄層電阻乘以材料的厚度，因此可以在上面的等式中進(jìn)行替換，得到:

這可以集成在r和r '獲得:

與之前不同的是，由于無窮大的自然對(duì)數(shù)不為零，所以不能假設(shè)當(dāng)r趨近于無窮大時(shí)電壓趨于零。然而，這并不影響分析，因?yàn)椴煌c(diǎn)的電壓差(δV)是四探針測(cè)得的值。

現(xiàn)在想象四探針系統(tǒng)與薄膜接觸，附加條件是薄膜的厚度(t)與探針間距相比可以忽略不計(jì)(s).對(duì)于由探針1注入并由探針4收集的電流，等式變?yōu)?/span>:

因此，探針2和3測(cè)得的電壓為:

因此，電壓變化為:

其可以被重新排列以給出:

因此

，通過測(cè)量?jī)?nèi)部探針之間的電壓變化和外部探針之間施加的電流，我們可以測(cè)量樣品的薄層電阻。